无标度几何中的Zipf定律 - 像城市一样的星系 2017-06-09 08:16:01

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Zip's法则对星系或城市的示意图

左边是模拟的种群分布,黑色斑点表示密度较高;在右边,粉红色,是人口密度超过某个临界值的位置

粉红色星团的分布与Zipf定律一致

摘要:人们的空间分布表现出各种尺度的聚类,从家庭(~10-2 km)到大陆(〜104 km)尺度

经验数据表明城市规模分布的简单幂律缩放(称​​为Zipf定律)和人口密度波动作为规模的函数

利用随机场理论和统计物理学中的技术,我们证明了这些幂律从根本上是人类群体无标度空间聚类的结果,也是人类居住在二维表面的事实

从这个意义上说,两个空间维度中尺度不变性的对称性与城市社会学密切相关

我们通过实证测量人口密度波动的功率谱来测试我们的理论,并且显示对数斜率α= 2.04±0.09,与我们的理论预测α= 2非常一致

该模型通过导入随机场的数学形式来实现许多新预测的分析计算

在上个世纪,语言学家George Zipf注意到,英语中第二个最常用的单词(“of”)的使用频率是最常用的单词(“the”)的一半,第三个最常用的单词(“and”)发生率约为三分之一,依此类推

这种奇怪的行为,即任何单词的频率与其在单词列表中的排名成反比,被称为Zipf定律

其他人已经注意到城市人口的相同行为,即人口第二大城市人口约占人口最多城市的一半,人口第三大城市人口占总人口的三分之一,依此类推

研究在噪声背景下检测微弱信号的科学家们也开始注意到类似的效果,大多数系统都有一个噪声分量,其强度与频率成反比,即所谓的“一对一”噪声

理论统计分析发现了许多其他案例,其中Zipf定律或其近似值可能来自被考虑的元素的准随机分布,无论是单词还是城市

然而,有许多轻微的偏差,并没有就Zipf定律的起源达成共识

当物质密度超过某个临界值时,形成星系

CfA天文学家,哈佛大学本科生Henry Lin和Avi Loeb指出,像星系一样,一旦人口超过某个临界值,城市也可能被认为是形成的,人口越多,城市就越大

由于Zipf定律适用于城市,他们调查了它是否也适用于星系,以及为什么会出现这种情况

他们不是关注法律如何从特定情况中产生,而是认为它在所有具有两个关键属性的统计系统中自然发生:二维几何(可以看到星系投射到天空的二维平面上)和聚类与大小无关的行为(“缩放不变”),以便小区域看起来与大区域相同

科学家在数学上表明,有了这两个特征,Zipf-Law行为自然会出现

(当然,对于某些系统,如单词,不同的原因可能是产生Zipf定律特征的原因

)新理论可以推导出Zipf定律并成功预测人口密度波动

PDF研究报告:无标度几何中的Zipf定律来源:哈佛 - 史密森尼天体物理中心